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离散概率研究有限或可数样本空间上的随机现象，是算法平均复杂度分析和随机算法的基础。本笔记覆盖概率与事件运算、条件概率与独立性、离散型随机变量及其分布、期望方差、概率母函数。

随机事件与概率 ​

基本概念 ​

  • 随机试验：可重复、结果不确定
  • 样本空间 Ω：所有可能结果的集合；样本点 = 单个结果
  • 离散样本空间：有限或可数无穷个样本点
  • 随机事件：样本空间的子集。基本事件（单点）、必然事件（Ω）、不可能事件（∅）

概率定义 ​

p: Ω→R 满足：① 0≤p(ω)≤1；② 所有样本点概率和为 1。事件 A 的概率 P(A) = Σ p(ω)，ω∈A。

事件的运算与公式（考点） ​

事件记号含义
和事件A∪BA 发生或 B 发生
积事件A∩B (AB)A 与 B 同时发生
差事件A−BA 发生且 B 不发生
逆事件ĀA 不发生

核心公式：

  • 加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB)；互不相容时 P(A∪B) = P(A)+P(B)
  • 若当公式（推广）：P(A₁∪…∪Aₙ) 交替加减各项交集概率
  • 对立：P(Ā) = 1 − P(A)

条件概率与独立性（重点） ​

条件概率与乘法公式 ​

  • 条件概率：P(B|A) = P(AB)/P(A)（P(A)>0）
  • 乘法公式：P(AB) = P(A)·P(B|A)；推广到 n 个事件链式相乘
  • 全概率公式：若 B₁,…,Bₙ 是 Ω 的一个划分，则 P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ)
    • 例：报文超长概率 = Σ(各线路占比 × 该线路超长概率)
  • 贝叶斯思想：P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)/P(A)（由果溯因）

独立性 ​

  • A、B 独立 ⇔ P(AB) = P(A)P(B)（等价于 P(B|A)=P(B)）
  • 独立 ⇒ Ā 与 B、Ā 与 B̄ 也独立
  • 伯努利概型：n 次独立重复试验，每次成功概率 p

二项概率公式（必背） ​

n 次伯努利试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率：P = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ

离散型随机变量（重点） ​

分布律 ​

X 取值为 a₁,a₂,…，分布律 P{X=aₖ}=pₖ，满足 0≤pₖ≤1 且 Σpₖ=1。

常用分布（考点，需记住期望与方差） ​

分布分布律期望 E(X)方差 D(X)
0-1 分布P{X=1}=pppq
二项 B(n,p)C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏnpnpq
泊松 P(λ)λᵏe⁻λ/k!λλ
几何qᵏ⁻¹p（首次成功次数）1/pq/p²
巴斯卡/负二项第 r 次成功所需次数r/prq/p²
超几何抽 n 个中红球数nM/N—

数学期望（考点） ​

E(X) = Σ aₖpₖ。

性质：E(C)=C；E(CX)=CE(X)；E(X±Y)=E(X)±E(Y)（无独立要求）；X,Y 独立时 E(XY)=E(X)E(Y)；Schwarz 不等式 [E(XY)]² ≤ E(X²)E(Y²)。

技巧：二项分布期望用"n 个 0-1 变量和"拆解：E(X) = np。

方差（考点） ​

D(X) = E[(X−EX)²] = E(X²) − (EX)²。

性质：D(C)=0；D(CX)=C²D(X)；X,Y 独立时 D(X±Y)=D(X)+D(Y)。

切比雪夫不等式：P{|X−EX| ≥ ε} ≤ D(X)/ε²（用方差估计概率上界）。

概率母函数（选学/了解） ​

  • 母函数：ψ(s) = E(sˣ) = Σ pₖsᵏ
  • 性质：独立随机变量和的母函数 = 各母函数之积（卷积）
  • 求矩：E(X) = ψ′(1)；D(X) = ψ″(1) + ψ′(1) − [ψ′(1)]²
  • 例：0-1 分布 ψ(s)=q+ps；二项 ψ(s)=(q+ps)ⁿ；泊松 ψ(s)=e^(λ(s−1))；泊松和仍为泊松

一句话总结 ​

概率主线：事件运算 → 条件概率/全概率 → 独立与二项 → 分布律 → 期望方差（三性质+两个公式）；切比雪夫是"方差→概率界"的桥，母函数是"分布→期望"的代数捷径。

相关概念 ​