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代数系统研究"集合 + 运算"的抽象结构，是离散数学的收尾大章。本笔记覆盖二元运算及其性质、代数系统（子代数/积代数/同态同构）、四大典型系统（半群/独异点、群、环与域、格与布尔代数）。

二元运算及其性质（考点） ​

定义 ​

  • 二元运算：f: S×S→S（封闭性）；一元运算 f: S→S
  • 表示：公式、运算表（有穷集）

运算律（必背） ​

运算律定义
交换律x∘y = y∘x
结合律(x∘y)∘z = x∘(y∘z)
幂等律x∘x = x
分配律x∘(y∗z) = (x∘y)∗(x∘z)
吸收律x∘(x∗y) = x 且 x∗(x∘y) = x

特异元素（核心考点） ​

元素定义实例（普通加法）
单位元 ee∘x = x∘e = x0
零元 θθ∘x = x∘θ = θ无
逆元 x⁻¹x∘x⁻¹ = x⁻¹∘x = e−x
  • 单位元、零元若存在则唯一
  • 结合运算中，若逆元存在则唯一
  • |S|≥2 时单位元 ≠ 零元；|S|=1 时同一元素既是单位元又是零元
  • 消去律：x∘y=x∘z ⇒ y=z（群中必成立，一般代数系统不一定）

代数系统（考点） ​

定义与分类 ​

  • 代数系统：非空集合 S + k 个运算 <S, f₁,…,fₖ>。例：<Z,+,·>、<P(S),∪,∩,~>、<Zₙ,⊕,⊗>
  • 同类型：运算个数、元数、代数常数个数相同
  • 同种：同类型且运算性质相同（如 <R,+,·,0,1> 与 <Mₙ(R),+,·,θ,E> 同种）

子代数与积代数 ​

  • 子代数：非空子集 B 对运算封闭（且含相同的代数常数）
  • 积代数：<S₁×S₂,∙>，分量分别运算；交换/结合/幂等/单位元/零元/逆元均可继承

同态与同构（重点） ​

  • 同态：f(x∘y) = f(x)∗f(y)（运算保持）
  • 分类：单同态（单射）、满同态（满射，V₂ 是 V₁ 的同态像）、同构（双射）
  • 自同态/自同构：到自身的映射
  • 满同态传递性质：交换、结合、幂等、分配、吸收、单位元、零元、逆元全部保持

例：f: Z→Zₙ，f(x)=x mod n 是满同态（整数加法群 → 模 n 加群）。

四大典型代数系统（核心考点） ​

1. 半群与独异点 ​

  • 半群：结合律；独异点（含幺半群）：半群 + 单位元
  • 例：<Z₊,+> 半群（无 0 不是独异点）；<N,+> 独异点

2. 群（最重要） ​

  • 群：结合 + 单位元 + 每元素有逆元。交换群（Abel 群）、有限群（阶 = 元素个数）
  • 例：<Z,+>、<Zₙ,⊕>、<P(B),⊕>（对称差）、Klein 四元群、置换群
  • 群性质（必考证明题）：
    • (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹（逆元反序）
    • 方程 ax=b、ya=b 有唯一解
    • 消去律成立
    • 单位元是唯一幂等元
    • 元素阶 |a|：aᵏ=e 的最小正整数 k；|a⁻¹|=|a|
  • 子群判定：非空 H 满足 a,b∈H ⇒ ab⁻¹∈H（或 ab∈H 且 a⁻¹∈H）
  • 生成子群 <a> = {aᵏ}；中心 C = {a | ax=xa 对所有 x}
  • 循环群：G=<a>，n 阶循环群生成元 φ(n) 个（与 n 互素的幂）；子群仍循环
  • 置换群：n 元对称群 Sₙ（阶 n!）；轮换分解、对换、奇偶置换

3. 环与域 ​

  • 环：<R,+,·> 满足 <R,+> 交换群 + <R,·> 半群 + 分配律
  • 例：整数环 Z、模 n 整数环 Zₙ、矩阵环 Mₙ(R)
  • 子环：a−b∈S 且 ab∈S
  • 整环：交换 + 含幺 + 无零因子（ab=0 ⇒ a=0 或 b=0）
  • 域：整环 + 每个非零元有乘法逆。Zₙ 是域 ⇔ n 是素数
  • 例：Q、R、C 是域；Z 是整环不是域；Z₆ 有零因子（2·3=0）不是整环

4. 格与布尔代数 ​

  • 格：偏序集中任意两元素有最小上界（∨）和最大下界（∧）
  • 等价定义：两个二元运算满足交换、结合、吸收律
  • 对偶原理：把 ≼↔≽、∨↔∧ 互换，命题仍真
  • 分配格：∨、∧ 互相分配；判别：不含钻石格/五角格子格
  • 有界格：有全下界 0 和全上界 1；补元 a∧b=0 且 a∨b=1
  • 布尔代数（布尔格）：有补分配格；标记 <B,∧,∨,′,0,1>
  • 布尔代数性质：德摩根律 (a∧b)′ = a′∨b′，(a∨b)′ = a′∧b′；双重否定
  • 有限布尔代数必与某个幂集格同构，元素个数 = 2ⁿ

一句话总结 ​

代数系统主线：运算性质（交换/结合/幂等/分配/吸收+单位元/零元/逆元）→ 同态同构（满同态保性质）→ 系统谱系（半群 ⊂ 独异点 ⊂ 群 ⊂ 环 ⊂ 域；偏序+上下界=格，有补分配=布尔代数）；群与布尔代数是两大考试重心。

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