一阶逻辑（谓词逻辑）在命题逻辑基础上引入个体词、谓词和量词，表达能力更强。本笔记梳理一阶逻辑的基本概念、公式与解释、前束范式。

一阶逻辑的基本概念

四大要素

要素	说明	举例
个体词	研究对象（个体常项/个体变项）	小明、x
谓词	个体的性质或个体间关系	F(x)：x 是人
量词	全称量词 ∀、存在量词 ∃	∀x、∃x
函数	个体到个体的映射	父亲(x)

量词（核心考点）

• 全称量词 ∀："所有的"。"∀x F(x)" 为真 ⇔ 论域中所有 x 都满足 F(x)
• 存在量词 ∃："存在"。 "∃x F(x)" 为真 ⇔ 论域中至少有一个 x 满足 F(x)
• 量词否定等值式（易错）：
  • ¬∀x F(x) ⇔ ∃x ¬F(x)（"并非所有" = "存在一个不"）
  • ¬∃x F(x) ⇔ ∀x ¬F(x)

量词辖域：量词作用范围。∀x(P(x)→Q(x)) 中辖域是 (P(x)→Q(x))，x 为约束出现；不在辖域内为自由出现。

一阶逻辑公式

公式与解释

• 原子公式：谓词作用于项
• 合式公式：原子公式经联结词和量词递归构成
• 解释（赋值）I：指定论域、个体常项取值、函数与谓词的含义。公式在给定解释下才有真值
• 闭式：无自由变元的公式，在任何解释下都有确定真值

公式类型

与命题逻辑类似：永真式（逻辑有效式）、矛盾式、可满足式。

前束范式（考点）

定义

一个公式如果是 Q1x1 Q2x2 … Qkxk A 的形式（Qi 是 ∀ 或 ∃，A 中无量词），则称为前束范式。所有量词都在最前面，辖域延伸到公式末尾。

求前束范式的步骤

1. 消去 → 和 ↔：用蕴含/等价等值式替换
2. 否定深入：用 ¬∀⇔∃¬、¬∃⇔∀¬ 将 ¬ 移到量词之后、谓词之前
3. 量词前移：利用量词分配等值式把所有量词移到最前面

一阶逻辑推理

• 全称量词可以实例化：∀x F(x) ⇒ F(a)（全称实例化）
• 存在量词可以引入：F(a) ⇒ ∃x F(x)（存在引入）
• 推理规则与命题逻辑共用，但要注意量词的引入/消除规则的使用条件

一句话总结

一阶逻辑 = 命题逻辑 + 个体/谓词/量词；量词否定要"换量词、否定后移"；前束范式就是把所有量词赶到公式最前面。

相关概念

• 离散数学-命题逻辑 — 一阶逻辑的基础
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